❤ مهدی ایمانی نژاد ❤
قوانین توان ⚡
✨ $2\times2\times2\times2\times2=2^5$ ✨
📖 توان چیست؟
$2+2+2+2+2 = 5 \times 2$
$2\times2\times2\times2\times2 = 2^5$
✨ توان روشی برای نمایش ضرب مکرر یک عدد در خودش است.
📌 در $a^b$، $a$ را پایه و $b$ را توان میگوییم
$2\times2\times2\times2\times2 = 2^5$
✨ توان روشی برای نمایش ضرب مکرر یک عدد در خودش است.
📌 در $a^b$، $a$ را پایه و $b$ را توان میگوییم
📐 قانون 1: ضرب اعداد تواندار با پایه های یکسان
۱
مثالها را ببین و قانون را کشف کن
نمایش مثالها
📝 مثال ۱:
$2^3 \times 2^4 = (2\times2\times2) \times (2\times2\times2\times2) = 2^{3+4} = 2^7$
📝 مثال ۲:
$5^2 \times 5^3 = (5\times5) \times (5\times5\times5) = 5^{2+3} = 5^5$
📝 مثال ۳:
$x^4 \times x^5 = (x\times x\times x\times x) \times (x\times x\times x\times x\times x) = x^{4+5} = x^9$
✅ قانون کلی:
$a^b \times a^c = a^{b+c}$
📐 قانون 2: ضرب اعداد تواندار با توان های یکسان
۲
مثالها را ببین و قانون را کشف کن
نمایش مثالها
📝 مثال ۱:
$2^3 \times 5^3= (2\times2\times2) \times (5\times5\times5)$
$= (2\times5)\times(2\times5)\times(2\times5)$
$= (2\times5)^3 = 10^3$
$= (2\times5)\times(2\times5)\times(2\times5)$
$= (2\times5)^3 = 10^3$
📝 مثال ۲:
$4^2 \times 5^2 = (4\times4) \times (5\times5) = (4\times5)\times (4\times5) =(4\times5)^2 = 20^2$
📝 مثال ۳:
$a^4 \times b^4 = (a\times a\times a\times a) \times (b\times b\times b\times b)$
$= (a\times b)\times(a\times b)\times(a\times b)\times(a\times b) =(a\times b)^4$
$= (a\times b)\times(a\times b)\times(a\times b)\times(a\times b) =(a\times b)^4$
✅ قانون کلی:
$a^c \times b^c = (ab)^c$
📐 قانون 3: تقسیم اعداد تواندار با پایه های یکسان
۳
مثالها را ببین و قانون را کشف کن
نمایش مثالها
📝 مثال ۱:
$\frac{2^5}{2^3} = \frac{2\times2\times2\times2\times2}{2\times2\times2}=\frac{2\times2\times\cancel{2}\times\cancel{2}\times\cancel{2}}{\cancel{2}\times\cancel{2}\times\cancel{2}} = 2^{5-3} = 2^2$
📝 مثال ۲:
$\frac{10^4}{10^2} = \frac{10\times10\times10\times10}{10\times10}=\frac{10\times\cancel{10}\times\cancel{10}\times\cancel{10}}{\cancel{10}\times\cancel{10}} = 10^{4-2} = 10^2$
📝 مثال ۳:
$\frac{x^7}{x^3} = \frac{x\times x\times x\times x\times x\times x\times x}{x\times x\times x}=\frac{x\times x\times x\times x\times \cancel{x}\times \cancel{x}\times \cancel{x}}{\cancel{x}\times \cancel{x}\times \cancel{x}} = x^{7-3} = x^4$
✅ قانون کلی:
$\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}$
📐 قانون 4: تقسیم اعداد تواندار با توان های یکسان
۴
مثالها را ببین و قانون را کشف کن
نمایش مثالها
📝 مثال ۱:
$\frac{6^3}{2^3} = \frac{6\times6\times6}{2\times2\times2} =\frac{6}{2}\times\frac{6}{2}\times\frac{6}{2}= (\frac{6}{2})^3 = 3^3$
📝 مثال ۲:
$\frac{10^2}{5^2} = \frac{10\times10}{5\times5} =\frac{10}{5}\times\frac{10}{5}= (\frac{10}{5})^2 = 2^2$
📝 مثال ۳:
$\frac{a^4}{b^4} = \frac{a\times a\times a\times a}{b\times b\times b\times b} = \frac{a}{b}\times \frac{a}{b}\times \frac{a}{b}\times \frac{a}{b} =(\frac{a}{b})^4$
✅ قانون کلی:
$\frac{a^c}{b^c} = (\frac{a}{b})^c$
📐 قانون 5: به توان رساندن اعداد تواندار
۵
مثالها را ببین و قانون را کشف کن
نمایش مثالها
📝 مثال ۱:
$(2^3)^2 = (2\times2\times2)^2 = (2\times2\times2)\times(2\times2\times2) =2^{3+3}= 2^{2\times3} = 2^6$
📝 مثال ۲:
$(5^2)^3 = (5\times5)^3 = (5\times5)\times(5\times5)\times(5\times5) =5^{2+2+2}= 5^{3\times2} = 5^6$
📝 مثال ۳:
$(x^4)^2 = (x\times x\times x\times x)^2 = (x\times x\times x\times x)\times(x\times x\times x\times x)=x^{4+4} = x^{2\times4} = x^8$
✅ قانون کلی:
$(a^b)^c = a^{b \times c}$
📐 قانون ۶: توان صفر
۶
مثالها را ببین و قانون را کشف کن
نمایش مثالها
📝 مثال ۱:
$3^0 =3^{2-2}=\frac{3^2}{3^2}= 1$
📝 مثال ۲:
$5^0 =5^{2-2}=\frac{5^2}{5^2}= 1$
📝 مثال ۳:
$x^0 =x^{2-2}=\frac{x^2}{x^2}= 1 \quad\quad x \neq 0$
✅ قانون کلی:
$a^0 = 1 \quad\quad a \neq 0$
📐 قانون ۷: توان یک
۷
مثالها را ببین و قانون را کشف کن
نمایش مثالها
📝 مثال ۱:
$2^1 =2^{3-2}=\frac{2^3}{2^2}=\frac{2\times2\times2}{2\times2}=\frac{2\times\cancel{2}\times\cancel{2}}{\cancel{2}\times\cancel{2}}= 2$
📝 مثال ۲:
$5^1 =5^{3-2}=\frac{5^3}{5^2}=\frac{5\times5\times5}{5\times5}=\frac{5\times\cancel{5}\times\cancel{5}}{\cancel{5}\times\cancel{5}}= 5$
📝 مثال ۳:
$x^1 =x^{3-2}=\frac{x^3}{x^2}=\frac{x\times x\times x}{x\times x}=\frac{x\times\cancel{x}\times\cancel{x}}{\cancel{x}\times\cancel{x}}= x$
✅ قانون کلی:
$a^1 = a$
📐 قانون ۸: توان منفی
۸
مثالها را ببین و قانون را کشف کن
نمایش مثالها
📝 مثال ۱:
$2^{-3} =2^{0-3}=\frac{2^0}{2^3}= \frac{1}{2^3}$
📝 مثال ۲:
$5^{-2} =5^{0-2}=\frac{5^0}{5^2}= \frac{1}{5^2}$
📝 مثال ۳:
$x^{-4} =x^{0-4}=\frac{x^0}{x^4}= \frac{1}{x^4}$
✅ قانون کلی:
$a^{-b} = \frac{1}{a^b}$
📚 ۲۰ تمرین حل شده با قوانین توان
۱
$2^3 \times 2^4$
نمایش حل
✧ قانون ۱ (ضرب با پایهی یکسان):
$2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$
✅ پاسخ: $\boxed{128}$
$2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$
✅ پاسخ: $\boxed{128}$
۲
$3^2 \times 4^2$
نمایش حل
✧ قانون ۲ (ضرب با توانهای یکسان):
$3^2 \times 4^2 = (3\times4)^2 = 12^2 = 144$
✅ پاسخ: $\boxed{144}$
$3^2 \times 4^2 = (3\times4)^2 = 12^2 = 144$
✅ پاسخ: $\boxed{144}$
۳
$\frac{5^6}{5^4}$
نمایش حل
✧ قانون ۳ (تقسیم با پایهی یکسان):
$\frac{5^6}{5^4} = 5^{6-4} = 5^2 = 25$
✅ پاسخ: $\boxed{25}$
$\frac{5^6}{5^4} = 5^{6-4} = 5^2 = 25$
✅ پاسخ: $\boxed{25}$
۴
$\frac{8^3}{2^3}$
نمایش حل
✧ قانون ۴ (تقسیم با توانهای یکسان):
$\frac{8^3}{2^3} = (\frac{8}{2})^3 = 4^3 = 64$
✅ پاسخ: $\boxed{64}$
$\frac{8^3}{2^3} = (\frac{8}{2})^3 = 4^3 = 64$
✅ پاسخ: $\boxed{64}$
۵
$(2^3)^2$
نمایش حل
✧ قانون 5: به توان رساندن یک عدد تواندار
$(2^3)^2 = 2^{3\times2} = 2^6 = 64$
✅ پاسخ: $\boxed{64}$
$(2^3)^2 = 2^{3\times2} = 2^6 = 64$
✅ پاسخ: $\boxed{64}$
۶
$(5\pi +2\sqrt{3})^0$
نمایش حل
✧ قانون ۶ (توان صفر):
$(5\pi +2\sqrt{3})^0 = 1$
✅ پاسخ: $\boxed{1}$
$(5\pi +2\sqrt{3})^0 = 1$
✅ پاسخ: $\boxed{1}$
۷
$\pi^1$
نمایش حل
✧ قانون ۷ (توان یک):
$\pi^1 = \pi$
✅ پاسخ: $\boxed{\pi}$
$\pi^1 = \pi$
✅ پاسخ: $\boxed{\pi}$
۸
$2^{-3}$
نمایش حل
✧ قانون ۸ (توان منفی):
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
✅ پاسخ: $\boxed{\frac{1}{8}}$
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
✅ پاسخ: $\boxed{\frac{1}{8}}$
۹
$2^3 + 2^3$
نمایش حل
$2^3 + 2^3 = 2\times 2^{3} = 2^1\times 2^3=2^{1+3}=2^4 = 16$
✅ پاسخ: $\boxed{16}$
✅ پاسخ: $\boxed{16}$
۱۰
$3^5+3^5+3^5$
نمایش حل
$3^5+3^5+3^5=3\times 3^5=3^1\times 3^5=3^{1+5}=3^6$
✅ پاسخ: $\boxed{3^6}$
✅ پاسخ: $\boxed{3^6}$
۱۱
$2^{20}$ نصف
نمایش حل
$\frac{2^{20}}{2}=\frac{2^{20}}{2^1}=2^{20-1}=2^{19}$
✅ پاسخ: $\boxed{2^{19}}$
✅ پاسخ: $\boxed{2^{19}}$
۱۲
$3^{30}$ ثلث
نمایش حل
$\frac{3^{30}}{3}=\frac{3^{30}}{3^1}=3^{30-1}=3^{29}$
✅ پاسخ: $\boxed{3^{29}}$
✅ پاسخ: $\boxed{3^{29}}$
۱۳
اگر $2^x=3$ حاصل $2^{3x+2}$ چند است؟
نمایش حل
$2^{3x+2}=2^{3x}\times 2^2=(2^x)^3\times 2^2=3^3\times 2^2=27\times 4=108$
✅ پاسخ: $\boxed{108}$
✅ پاسخ: $\boxed{108}$
۱۴
اگر $5^x=2$ حاصل $5^{4x-2}$ چند است؟
نمایش حل
$5^{4x-2}=\frac{5^{4x}}{5^2}=\frac{(5^x)^4}{5^2}=\frac{2^4}{5^2}=\frac{16}{25}$
✅ پاسخ: $\boxed{\frac{16}{25}}$
✅ پاسخ: $\boxed{\frac{16}{25}}$
15
اگر $2^x=5$ و $2^y=3$، حاصل $\frac{2^{3x+2y}}{2^{x+y}}$ چند است؟
نمایش حل
✧ ابتدا صورت را ساده میکنیم:
$2^{3x+2y} = 2^{3x} \times 2^{2y} = (2^x)^3 \times (2^y)^2$
$= 5^3 \times 3^2$
✧ مخرج را محاسبه میکنیم:
$2^{x+y} = 2^x \times 2^y = 5 \times 3$
✧ تقسیم:
$\frac{5^3 \times 3^2}{5\times 3} = 75$
✅ پاسخ: $\boxed{75}$
$2^{3x+2y} = 2^{3x} \times 2^{2y} = (2^x)^3 \times (2^y)^2$
$= 5^3 \times 3^2$
✧ مخرج را محاسبه میکنیم:
$2^{x+y} = 2^x \times 2^y = 5 \times 3$
✧ تقسیم:
$\frac{5^3 \times 3^2}{5\times 3} = 75$
✅ پاسخ: $\boxed{75}$
۱۶
$2^0+2^1+2^2+2^3+\cdots+2^{63}=?$
نمایش حل
✧ ترفند: یک ۱ اضافه میکنیم:
$1+2^0+2^1+2^2+2^3+\cdots+2^{63}$
✧ $1+2^0 = 1+1 = 2^1$
$2^1+2^1 = 2^2$
$2^2+2^2 = 2^3$
$2^3+2^3 = 2^4$
✧ این روند ادامه مییابد تا:
$1+2^0+2^1+2^2+\cdots+2^{63} = 2^{64}$
✧ حالا ۱ را کم میکنیم:
$S = 2^{64} - 1$
✅ پاسخ: $\boxed{2^{64}-1}$
$1+2^0+2^1+2^2+2^3+\cdots+2^{63}$
✧ $1+2^0 = 1+1 = 2^1$
$2^1+2^1 = 2^2$
$2^2+2^2 = 2^3$
$2^3+2^3 = 2^4$
✧ این روند ادامه مییابد تا:
$1+2^0+2^1+2^2+\cdots+2^{63} = 2^{64}$
✧ حالا ۱ را کم میکنیم:
$S = 2^{64} - 1$
✅ پاسخ: $\boxed{2^{64}-1}$
۱۷
🧩 جلبکی روی استخر طوری رشد میکند که هر روز ۲ برابر روز قبل از سطح استخر را میپوشاند. اگر در روز سیام کل سطح استخر پوشیده از جلبک شده باشد، در چه روزی نصف سطح استخر پوشیده از جلبک بوده است؟
نمایش پاسخ
✅ روز ۲۹ ام
چون روز بعدش یعنی روز سی ام کل سطح استخر پوشیده از جلبک می شود
چون روز بعدش یعنی روز سی ام کل سطح استخر پوشیده از جلبک می شود
۱۸
💰 به شما پیشنهاد میشود به مدت ۳۰ روز، هر روز مبلغی به شما پرداخت شود: روز اول ۱ تومان، روز دوم ۲ تومان، روز سوم ۴ تومان، و هر روز ۲ برابر روز قبل. مجموع پولی که در ۳۰ روز دریافت میکنید چقدر است؟
نمایش پاسخ
$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{29}$
$= 2^{30} - 1$
✅ ۱,۰۷۳,۷۴۱,۸۲۳ تومان
۱۹
💰 به شما پیشنهاد میشود به مدت ۳۰ روز، هر روز مبلغی به شما پرداخت شود: روز اول ۱ تومان، روز دوم ۳ تومان، روز سوم ۹ تومان، و هر روز ۳ برابر روز قبل. مجموع پولی که در ۳۰ روز دریافت میکنید چقدر است؟
نمایش پاسخ
$S = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^{29}$
$3S = 3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^{30}$
$3S - S = 3^{30} - 1$
$2S = 3^{30} - 1$
$S = \frac{3^{30} - 1}{2}$
✅ $\frac{3^{30}-1}{2}$ ≈ ۲۰۵,۸۹۱,۱۳۲,۰۹۴,۶۴۹ تومان
💡 فرمول کلی: $1+r+r^2+\cdots+r^n = \frac{r^{n+1}-1}{r-1}$
۲۰
⚡ کدام یک بزرگتر است؟ $2^{100}$ یا $3^{60}$؟
نمایش پاسخ
$2^{100} = (2^5)^{20} = 32^{20}$
$3^{60} = (3^3)^{20} = 27^{20}$
$32^{20} > 27^{20}$
✅ $2^{100} > 3^{60}$
۲۱
🔢 عدد $2^{40}$ چند رقمی است؟
نمایش پاسخ
✨ روش تخمین و توان
$2^{40} = (2^{10})^4 = 1024^4$
$1024 \approx 10^3$
$2^{40} \approx (10^3)^4 = 10^{12}$
✅ ۱۳ رقمی
🔢 $2^{40} = 1,099,511,627,776$ (۱۳ رقمی)
❤️ طراحی شده توسط مهدی ایمانی نژاد ❤️